2007年考研数学命题趋向及复习对策

从考生的反映来看，一部分考生认为2006年考研数学试题难度适中，还有一部分考生认为2006年考研数学试题较难（特别是数学三、四的考生），尤其是最后几道大题。

不过，高校的数学教师特别是考研辅导老师普遍认为这是一份好试卷：2006年的研究生数学命题立意明确，情景新颖，叙述简捷，形象直观，富于新意。实现了其选拔功能，同时对高等学校数学基础课的教学发挥了良好的导向作用。2006年的研究生数学试题遵循并紧扣《数学考研大纲》，知识与能力并举，很好地考查了思维、运算、空间、应用、推理等几方面的能力。问题设计新颖、自然、平和。2006年考研数学试卷的一个重要特点是“活”，从第一题开始，便要求考生能灵活运用所学基础知识解答，一些综合性的题目更要求考生快速调动一些基础知识融会贯通地解答，在考查基础知识的同时，注重对数学思想方法和数学能力的考查，在强调综合性的同时，重视试题的多角度、多层次性。从试题结构看，2006年的题型整体保持了2005年的结构特点，但稳中有变，题目的形式更趋于新颖、科学、合理和生动。

2006年考研数学的大多数试题的入口都比较宽，起点不高。选择题和填空题都从高等数学、线性代数和概率统计的基础知识、重点内容、基本方法出发设计命题；解答题在考查考生数学基础知识的同时，注重对学科的内在联系和知识的综合的重点考查，并达到了必要的深度，构成考研数学试题的主体，让不同层次的考生都能展示自身的综合素质和综合能力。

2006年考研数学各卷全面考查基础知识，试卷的覆盖面有所提高，每章节都有题目考查，有效地提高了内容效度。对数学基础知识的考查，要求全面，但不刻意追求知识点的百分比，突出重点，即重点内容重点考查。题目体现教学重点，既保证一定的比例，又保持应有的深度，试题难易适当，不出偏题、怪题和助长死记硬背的题目。

2006年的命题中在考查知识的同时，继续加强能力的考查。力图通过数学科的考试，不但能考查出考生数学知识的积累是否达到继续学习的基本水平，而且以数学知识为载体，测量出考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测出考生已有的和潜在的学习能力。

首先是抽象思维能力和逻辑推理能力的考查。例如数学一的第19题：

设在上半平面 内，函数 具有连续偏导数，且对任意的 都有 .　证明：对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，都有

.

【分析】 利用曲线积分与路径无关的条件 .   

【详解】 两边对 求导得

.

令 ，则     .　　　　　①

设 ，则

.

则由①可得　 .

故由曲线积分与路径无关的定理可知，对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，都有

。

这些都需要一定的逻辑推理能力。

运算能力是思维能力与运算技能的结合。要求考生能够理解算理，会根据法则、公式、概念进行函数、方程、向量、矩阵、随机变量等的正确运算和变形；能分析条件，寻找与设计合理、简洁的运算途径；例如数学一的第21题和数学二的第23题：

设3阶实对称矩阵 的各行元素之和均为3,向量 是线性方程组 的两个解.

(Ⅰ)求 的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 .

【分析】 由矩阵 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组 有非零解可知 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵 .

【详解】 (Ⅰ)　因为矩阵 的各行元素之和均为3，所以

，

则由特征值和特征向量的定义知， 是矩阵 的特征值， 是对应的特征向量.对应 的全部特征向量为 ，其中 为不为零的常数.

又由题设知　 ，即 ，而且 线性无关，所以 是矩阵 的二重特征值， 是其对应的特征向量，对应 的全部特征向量为　 ，其中 为不全为零的常数.

(Ⅱ)　因为 是实对称矩阵，所以 与 正交，所以只需将 正交.

取　 ， .

再将 单位化，得

，

令　 ，则 ，由 是实对称矩阵必可相似对角化，得　

.

空间想象能力应包括根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能根据图形特点和题目要求对图形进行分解变形。数学三的第18题等都需要考生想象平面图形的形成过程和形状：

在 坐标平面上，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切线斜率与直线 的斜率之差等于 （常数 ）.

(Ⅰ) 求 的方程；

(Ⅱ) 当 与直线 所围成平面图形的面积为 时,确定 的值.

【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.

【详解】(Ⅰ) 设曲线 的方程为 ，则由题设可得

，这是一阶线性微分方程，其中 ，代入通解公式得

，

又 ，所以 .

故曲线 的方程为 .

(Ⅱ) 与直线 （ ）所围成平面图形如右图所示.  所以

，

故 .

数学试卷对能力的考查要求考生对课程内容能够融会贯通，把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上，放在运用分析问题的方法和解决问题的能力上。因此命题中尽量避免刻板、繁难和偏怪的知识考查，避免死记硬背的内容和烦琐计算。突出以能力立意，特别注重知识的综合性和灵活应用。提高对解决问题的能力的要求，增加思考量，控制计算量，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分检、组合、加工，寻找解决问题的方法。设计试题注意研究试题的能力层次要求，设计出不同解题思想层次的试题，使善于知识迁移和运用思维块减缩思维的考生能用敏捷的思维赢得时间，体现其创造能力。目的是引导教师、学生在教学和复习中把精力放在理解、思考、分析和解决问题上。这样的试题，不同于知识型的试题，能力型的试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路可以套用，思维水平要求较高，不强调死记硬背和解题技巧，思维容量大，运算量较小，能有效展示学生的思维水平和创造意识，完成这样的试题需要一定的能力素质，依靠“题海”和大运动量的操练是难以奏效的。不少考生还不十分适应，这是部分考生考试成绩偏低、感觉试题较难的原因所在。

 

1.随着考生人数的大幅度增加，考生的平均水平将不可避免地有所降低。为控制整卷难度，命题之前老师一定会认真了解、分析当年考生的实际水平，注重试题水平与考生水平的基本吻合，恰当控制试卷中各个试题的难度。同时还要考虑考生差别较大的事实，在每种题型中都编拟一些较易的试题，使大部分考生都能得到一些基本分。在每种题型中都编拟有一定难度的试题，实现选拔的目的。因此，2007年考研数学试题一定会以中等难度偏下的试题为主。

2.考研数学试卷中一部分题目是对课本上的题进行了扩展、综合和变形，所以考生应该对课本上的题目作到烂熟于心。

3.最近两年经济类和理工类的考研数学试题通用性较高，因此数一和数二的考生复习时可适当降低难度，而数三和数四的考生应该适当提高复习难度。

4.从2006年数学考试情况来看，有很多考生表现出了很高的数学造诣和较强的数学能力，但整体得分较低，说明考生的基础还不够扎实，学习和复习中还存在一些问题。首先是推理论证能力没有达到要求。其次是分析问题和解决问题的能力有一定的差距，特别是处理应用题和证明题的能力。考生对常见的试题类型和知识点得分情况较好，对大纲中要求的但在以前考试中出现频率低的试题和内容，特别是一些立意和形式新颖的试题，得分情况就不好，说明考生知识掌握的不够全面，有应试倾向，不利于考生能力的全面发展。还要注意综合题目，因为在教学中，各部分内容是单独讲的，综合训练的时间较少，而研究生考试更多是多个知识点联系在一起，要彻底理清各章的关系和各个知识点的联系，综合应用知识解决问题。另外运算能力不过关，会而不全，算而不对的情况在试卷中很常见，线性方程组解错、导数求错、积分公式记错、分布列写错等，这也是考生在学习和复习中应着力解决的问题。

 

考研数学的范围和要求是《考研数学大纲》，复习的主要目标是提高解题能力，复习的根本在于吃透本科课本和教材，最后，数学成绩得高分是复习的硬道理。

很多同学觉得，本科数学课本上面的题目很简单，都是曾经学过的内容，复习数学时，很多学生去做其他一些他们认为难度更高的习题，可是到考试的时候往往是难题做不完整，简单的题目却容易失分——尤其是前面的选择题、填空题这样一些小题。所以要特别注重学习课本，把课本上的基本题目都做到位，这也是我要讲的第一点。第二点就是课本上的基本概念和基本思路。课本上面不光是习题重要，更重要的是它的基本概念和基本思路。数学课本有一些非常细微的概念和原理是容易被忽视的，而考试的时候，往往就是把那些我们忽视的问题拎出来考。而一考大家就“倒一大片”。所以我们在看课本的时候，一定要把课本上的每一个字，每一个句子，即使很细小的一些原理都要看到。

第一轮复习不要搞题海战术，一般情况下把教材基本概念搞清楚，该背的东西理解性记下来，关键是书上的例题要弄懂，然后做一些综合练习就可以了。复习时注意选择合适的教材，很多高校都在用的教材难度比较适中。铁军老师推荐的教材是：《高等数学》选用同济大学主编（第四版）；《线性代数》选用同济大学主编（第四版）；《概率论与数理统计》选用浙江大学主编（第三版）。一般同学可以用这本书，或者自己学校里学的教材也可以，要根据个人的实际情况。如果数学学的比较好，三本书看完，第一轮差不多两个半月时间，如果数学不太好，要花三个月多一点，不管怎么样，在7月份以前看完的话，应该是来得及，按照正常轨迹完成所有的计划，在7月份把基础打牢就可以了。

由于数学课一般在大一、大二都已修完，到现在有些内容已经不那么熟悉了。因此，必须对原学过的数学课程（高等数学、线性代数、概率论与数理统计）再进行全面的复习。我这里所说的全面，指的是对考试的每一科内容都要认真复习。　　

注重“三基”（基本概念、基本方法和基本性质）的复习非常重要。从近年的考题可以看出，基本概念、基本方法、基本性质一直是考试的重点。因此，注重基础是复习的基本方向。在复习中，一定要掌握各部分知识间的联系和区别，理解基本概念和性质的内涵与外延。这样，有利于提高解答综合试题的能力。同时，还要注重计算能力的提高。一个试题可能有多种解法，应力求找出运算路径短、运算步骤少、运算时间省的解法，以求在考试中争取时间。通过自己的归纳、总结，加深对数学思想方法的理解，从而达到简化运算，提高速度之目的。

考研数学究竟考什么呢？纵观过去19年的考研试卷，铁军老师认为数学主要考查的一个方面就是基础，基础是通过填空题和单选题来考核的，当然了，我们的计算题、证明题以及应用题也与基础息息相关，所以抓基础是重中之重，希望同学们一定注意。数学中的这三门课中哪些是基础呢？事实上，高数部分的重中之重，基础的基础应该是极限、导数、不定积分，后面的定积分、一元微积分的应用、微积分方程、多元函数的微积分这些内容可以看作是这三部分内容的应用和延伸，所以前面这三部分是非常重要的，希望同学们下大力气把它掌握好。

线性代数的基础是矩阵的初等变换和线性方程组的结构定理，求方阵的逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的特征值、特征向量这些内容都和前面的基础息息相关，别看矩阵的初等变化就那么三句话很简单，但是做题的时候错往往就错在这些最简单的问题上。给你一个矩阵在很短的时间内化成最简形，不是那么容易的，所以同学们一定要下苦工夫，练基本功。

概率统计的基础应该是前面三章，第一章事件的概率，其中的乘法公式、全概、逆概公式是非常重要的，第二章随机变量及其分布，应该特别关注二维随机变量的边缘分布密度、条件分布密度，二维离散型的随机变量的边缘分布率、条件分布率。第三章随机变量的数字特征相关的性质要牢记。

一说抓基础，有些同学就把过去学过的数学中的三本数，高数、线代、概率从头开始再看，做上面的题，然后再看有关的辅导书，这确实是一种复习的方法。还有一种复习的方法就是一下子就看辅导书，看到辅导书中有关的概念、定理、公式，搞不清楚的可以把过去大学里学的教材翻一翻、看一看，这也是一种复习的方法，这种方法可能比较省时、省力。可能更能够马上见效。

“眼高手低”是很多考生在复习数学时易犯的错误，很多考生对基础性的东西不屑一顾，认为这些内容很简单，用不着下劲复习，还有的考生只是“看”，认为看懂就行了，很少下笔去做题，结果在最后的考试中眼熟手生，难以取得好的成绩。所以，在复习数学时一定要脚踏实地，一步一个脚印，就像下象棋，要取敌方老帅，就要老老实实战败所有兵卒，稳扎稳打，步步为营，这样的话，才能以不变应万变，在最后的实考中占据主动！

很多学生在开始研数学复习之初，忽视本科教材的重要性，结果走了弯路，不可取。他们往往是教材上的东西根本就没弄懂或时间太长遗忘了，就把大量的精力投到参考书上和大量做题上去。一开始做题，由于题目跟自己复习的很相似，可以顺着自己并不清楚的格式走，还算是“战绩不菲”。可是时间一长，这种“泡沫成绩”的弊端就暴露出来了。不但参考书中的题目越变越难，就连教材上的一些以前认为简单的习题也开始变得“陌生”了。这就是本末倒置的结果。所以，我们在看考研参考书时，要把课本作为理解新题目的工具，把二者有机地结合起来。

 

 

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